近世代數(shù)

 

    一、考查目標

 

    近世代數(shù)是以研究代數(shù)結構的性質、構造與分類為中心的一門學科，是現(xiàn)代數(shù)學各個分支的基礎學科之一。要求學生通過本課程的學習，掌握近世代數(shù)的基本概念與基本理論，主要包括群、環(huán)、域等基礎理論，培養(yǎng)抽象思維的能力?？荚嚹康闹饕疾鞂W生對群、環(huán)、域這三類較為常見的代數(shù)結構的概念和及其性質的掌握程度，以及學生利用相關知識進行抽象思維的能力。

 

    二、試卷結構

 

    1、題型結構

 

    計算題（約40%），證明題（約60%），共計100分

 

    2、內容結構

 

    群論（約40%），環(huán)論(約40%），域論（約20%）

 

    三、考試內容及要求

 

    1、群論

 

    考試內容：關系、等價關系與劃分的對應、群論的基本概念（包括子群、陪集、群同態(tài)、循環(huán)群、置換群、群的直積、群作用等）、性質及循環(huán)群的結構、群同態(tài)基本定理、拉格朗日定理、西羅定理、軌道穩(wěn)定子公式等基本定理。

 

    考試要求：了解集合、映射、關系以及等價類的概念；理解等價關系和劃分的對應。理解群、子群、生成子群、群同構、循環(huán)群、置換群和對稱群等概念，會證明兩個群是否同構，熟練掌握循環(huán)群的性質、結構及分類，掌握置換的輪換分解定理，了解置換在對稱變換群中的應用。掌握左右陪集的概念和性質，會用拉格朗日定理和指數(shù)公式，熟練掌握正規(guī)子群和商群的概念及性質，熟練掌握群同態(tài)的概念及同態(tài)定理，掌握群的內外直積的概念和性質，熟練掌握群作用的概念及軌道穩(wěn)定子定理，了解伯恩塞德引理，熟練掌握西羅定理及其應用，會判斷一個群是否單群。

 

    2、環(huán)論

 

    考試內容：環(huán)、子環(huán)、理想、零因子、整環(huán)、歐氏環(huán)、主理想整環(huán)等

 

    考試要求：掌握環(huán)和子環(huán)的概念和性質，掌握左右零因子、無零因子環(huán)、整環(huán)、除環(huán)、除環(huán)、體、域的區(qū)別，熟練掌握理想、主理想、商環(huán)的概念，掌握環(huán)同態(tài)定理和環(huán)的擴張定理，掌握素理想和極大理想的區(qū)別和聯(lián)系，掌握環(huán)的特征、素域的概念。了解多項式環(huán)，整環(huán)的商環(huán)的概念，掌握唯一分解整環(huán)的概念及其性質，掌握主理想整環(huán)和歐幾里得整環(huán)的概念及其性質，了解各類整環(huán)的區(qū)別和聯(lián)系。

 

    3、域論

 

    考試內容：向量空間、子空間、域擴張(單擴張、有限擴張、代數(shù)擴張）、分裂域。

 

    考試要求：掌握向量空間、子空間及空間維數(shù)的概念、掌握擴域、單擴張、有限擴張、及域論基本定理，掌握代數(shù)數(shù)、超越數(shù)、代數(shù)擴張、極小多項式、不可約多項式的概念，了解分裂域、完備域的概念及其性質，了解有限域的概念和性質。

 

    四、推薦書目

 

    韓士安、林磊.近世代數(shù)(第二版).北京：科學出版社,2009

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